ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
????? ??????? ??????? ???????? ???????????? ?????? ???????? ??????????? ????? ?????????, ?????? 10140; ??? ??????????? ? ?????? ??????-?????, ??????????? ? 100 ?. ?? ?.?.

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
???????? ???????? "????????????? ????????? ? ???????????", ? ??????? ????????? ??????? "??????" ? "?????? ???????". ? ????????? ????? ???????? ?????? ?? ????? ?????????.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

Неравенство Коши.


a1 + a2 + ... + an

n

n a1a2...an , где aiR, ai ≥ 0, i = 1,2,...,n.

Доказательство


Для начала отметим, что если хотя бы одно из чисел ai = 0, правая часть будет равняться нулю, а левая - неотрицательной. Потому далее будем рассматривать лишь ai > 0.

Выведем вспомогательное неравенство. Обозначим за Gm = m a1a2...am. Отметим, что

am+1 = Gm+1m+1/Gmm = Gm(Gm+1/Gm)m+1 = Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m+1.

Согласно неравенства Бернулли

Gm(1 + (Gm+1/Gm - 1))m+1Gm(1 + (m+1)(Gm+1/Gm - 1)) = Gm + (m+1)Gm+1 - (m+1)Gm = (m+1)Gm+1 - mGm.

Или am+1 ≥ (m+1)Gm+1 - mGm (*)

Теперь воспользуемся методом математической индукции.

1. База индукции.

При n = 1 неравенство Коши имеет вид a1 = a1. База проверена.

2. Переход.

Пусть при неком n = k неравенство Коши выполняется, то есть

a1 + a2 + ... + ak

k

k a1a2...ak = Gk.

Докажем, что выражение верно и при n = k+1.

Исходя из перехода:

a1 + a2 + ... + akkGk.

Добавляем к данному неравенству (*) при значении m = k и получим:

a1 + a2 + ... + ak + ak+1kGk + (k+1)Gk+1 - kGk = (k+1)Gk+1.

Исходя из этого

a1 + a2 + ... + ak+1

k+1

Gk+1 = k+1 a1a2...ak+1.

Переход доказан, а значит и наше предположение верно. Что и требовалось доказать.


Отметим, что равенство достигается лишь в том случае, когда a1 = a2 = ... = an.


Назад


2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл