Решить уравнение C_{x + 1}^{x - 2} + 2C_{x - 1}³ = 7(x - 1).

______________________________________

Воспользуемся формулами, получим:

Проводим сокращение, умножаем обе части на 3!, получим

(x + 1)x(x - 1) + 2(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 3!·7(x - 1)

(x + 1)x + 2(x - 2)(x - 3) = 42

x² + x + 2x² - 10x + 12 = 42

x² - 3x - 10 = 0

Решаем квадратное уравнение, получаем два решения: x = -2, x = 5. Но так как x согласно условию задачи может быть лишь положительным, то получаем x = 5.

Ответ: x = 5.

Решить уравнение A_x³ - 2C_x⁴ = 3A_x².

__________________________________

Применяем формулы, получим:

Проводим сокращение дробей и умножаем обе части уравнения на 12:

12x(x - 1)(x - 2) - x(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 36x(x - 1)

12(x - 2) - (x - 2)(x - 3) = 36

12x - 24 - x² + 5x - 6 - 36 = 0

x² - 17x + 66 = 0

Решаем квадратное уравнение и находим два решения: x₁ = 11, x₂ = 6.

Ответ: x = 11 или x = 6.

Решить уравнение A_x^{x - 3} = xP_{x - 2}.

____________________________

Применяем формулы, получим:

x(x - 1)(x - 2)! = 6x(x - 2)!

x - 1 = 6

x = 7

Ответ: x = 7.

Доказать тождество P_n = (n - 1)(P_{n - 1} + P_{n - 2}).

____________________________________

Применяем формулы, получаем:

n! = (n - 1)((n - 1)! + (n - 2)!)

Сокращаем на n - 1:

n(n - 2)! = ((n - 1)((n - 2)! + (n - 2)!)

n(n - 2)! = (n - 2)!(n - 1 + 1)

n(n - 2)! = n(n - 2)!

0 = 0.

Что и требовалось доказать.