ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
Число является совершенным, если оно равно сумме своих делителей, отличных от самого числа. Самое маленькое совершенное число: 6 = 1 + 2 + 3.
Самое большое известное, 31-е по счету открытое на сегодняшний день, число: (22216091 – 1)·22216090. Это число получено благодаря открытию в сентябре 1985 г. математиком Марсенном (США) числа 22216091 – 1, которое в настоящее время известно как второе самое большое простое число.

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

1...2 3 4 

Доказать, что при x > 0 и nN выполняется неравенство:

Указание: Воспользуйтесь неравенством Коши для n чисел.

Доказательство: Воспользуемся неравенством Коши для n чисел, взяв их следующим образом: x1 = x2 = ... = xn-1 = 1, xn = 1 + x.


Решить уравнение

Указание: Выделите под корнями квадраты разниц.

Ответ: 2 ≤ x ≤ 5.


Доказать, что при всех x ∈ [0; π/2] выполняется неравенство xcosx < .

Указание: Воспользуйтесь двумя неравенствами: sinxx при x ≥ 0 и cosx = sin(π/2 - x).

Доказательство: Для x ≥ 0 выполняется неравенство sinxx; потому для x ∈ [0; π/2] имеем:
    xcosx = xsin(π/2 - x) ≤ x(π/2 - x) ≤ π2/16.
    А так как π < 3.2, > 1.4, то π2 < 10.24, а 8 > 11.2 . Таким образом
    xcosxπ2/16 < 10.24/16 < 11.2/16 < Что и требовалось доказать.


Решить уравнение 2[x] = 1 + 2x, где [x] - целая часть числа x.

Указание: Стоит заметить, что при [x] ≤ -2 равенство не выполняется. Воспользуйтесь методом математической индукции и докажите, что при [x] ≥ 4 равенство также не выполняется.

Ответ: x = -1/4, x = 0, x = 7/2
Решение: Преобразуем исходное уравнение в 2[x] - 1 = 1/2 + [x] + {x}, где {x} = x - [x].
При [x] ≤ -2, 2[x] - 1 > 1/2 + [x] + {x}(*), так как правая часть отрицательная. Докажем при помощи метода мат.индукции по [x], что при [x] ≥ 4 неравенство (*) также выполняется.
База: [x] = 4, тогда 24 - 1 = 8 > 51/2 > 1/2 + 4 + {x}. База доказана.
Переход индукции: Пусть при неком [x] имеет место 2[x] - 1 = 1/2 + [x] + {x}.
Докажем верность 2[x] + 1 - 1 = 1/2 + [x] + 1 + {x}.
Согласно переходу: 2[x] = 2(1/2 + [x] + {x}) = 1/2 + [x] + {x} + 1/2 + [x] + {x} > 1/2 + [x] + {x} + 4 > 1/2 + [x] + 1 + {x}. Что и требовалось доказать.
Осталось проверить случаи, когда [x] = -1, 0, 1, 2, 3. Перебирая их, находим ответы: x = -1/4, x = 0, x = 7/2.


Пусть a, b, c, d - целые числа. Доказать, что выражение
((a - c)2 + (b - d)2)(a2 + b2) - (ad - bc)2 является квадратом целого числа.

Указание: Докажите, что ((a - c)2 + (b - d)2)(a2 + b2) - (ad - bc)2 = (a2 + b2 - ac - bd)2.


Для каких натуральных чисел k существуют такие натуральные числа m и n, что mk + n и nk + m одновременно являются k-ыми степенями некоторых натуральных чисел?

Ответ: k = 1.

Решение: Если k = 1, то числа m и n могут быть любыми. Для k ≥ 2 таких натуральных чисел не существует. Докажем от противного.
Пусть это не так. Тогда существует такое натуральное число p ≥ 1, для которого
mk + n = (m + p)k. Отсюда получаем:
n = (m + p)k - mk = ((m + p) - m)((m + p)k - 1 + (m + p)k - 2m + ... + (m + p)mk - 2 + mk - 1) >
p(mk - 1 + mk - 1 + ... + mk - 1) = pkmk - 1 > m. Т.е. n > m.
Аналогично, рассматривая другое число, доказывается, что m > n. Противоречие. Значит единственный ответ: k = 1.


1...2 3 4 
2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл