ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
Вскоре после выхода из печати (в 1865 году) книжка Льюиса Кэррола "Алиса в стране чудес" попала в руки королевы Англии. Она пришла в восторг от удивительных приключений Алисы и тут же потребовала принести ей другие книги такого замечательного писателя. Каково же было ее разочарование, когда выяснилось, что прочие труды этого автора посвящены... математике.

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

1 2 3...4

Мышь грызет кусочек сыра в форме куба с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда она съедает какой-то кубик, то переходит к следующему, который имеет общую грань с предыдущим. Может ли мышь скушать весь кусок сыра, кроме центрального единичного кубика?

Указание: Используйте метод раскрасок, а именно следующий способ:

Решение: Воспользуемся способом раскраски и поскрасим единичные кубики в два цвета через один, следующим образом:

У нас 27 кубиков. Чтобы скушать все кубики сыра, кроме центрального, придется съесть 26 кусочков. Причем, половину будет белого цвета, половина - черного (так как мышь ест соседние кубики, которые имеют разный цвет). Но это невозможно, т.к. с другой стороны, у нас всего 15 белых кубиков и 14 черных (благодаря раскраске). И если мышь не будет кушать центральный, то будет съедено 15 белых и 13 черных, так как центральный кубик - черного цвета.


Дно прямоугольной коробки было выложено прямоугольными плитками 2 x 2 и 1 x 4. Плитки высыпали из коробки и при этом потеряли плитку размером 2 x 2. Вместо нее нашли плитку размером 1 x 4. Можно ли при этом выложить дно коробки?

Указание: Используйте метод раскраски следующим образом:

Ответ: Нет, нельзя. Используя метод раскраски, раскрасим дно коробки следующим образом:

Плитка 2 x 2 покрывает лишь одну черную клетку. Плитка 1 x 4 покрывает или две и ни одну черную. То есть четность покрытых черных клеток совпадает с четностью количества плиток размером 2 x 2. Потому при потере плитки 2 x 2 останется лишь одна незакрашенная черная клетка. Замена невозможна.


На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток (n > 4). Докажите, что из них можно выбрать не менее [n/4] клеток, не имеющих общих точек.

Указание: Воспользуйтесь методом раскраски следующим образом (используя четыре цвета):

Ответ: Воспользуемся методом раскрасок и покрасим клетки в четыре цвета следующим образом:

Тогда, по принципу Дирихле, среди n клеток, можно выбрать [n/4] клеток одного цвета. А так как клетки одного цвета не имеют общих точек, то утверждение доказано.


1 2 3...4
2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл