На данный момент этот раздел содержит обобщенный материал по всему курсу планиметрии. Планиметрия - раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные фигуры. Т.е. фигуры, которые можно расположить в одной плоскости. В будущем этот материал будет разделен на несколько - по конкретной тематике.
Треугольник и окружность.
SΔ = ½ aha, где ha - высота;
SΔ = ½ ab sin ∠C;
SΔ = √p(p - a)(p - b)(p - c), где p - полупериметр треугольника, p = ½ (a + b + c);
SΔ = pr, где r - радиус окружности, вписанной в трегульник;
SΔ = abc/4R, где R - радиус окружности, описанной около трегульника.
Прямоугольный треугольник.
c2 = a2 + b2;
hc2 = |AD|·|DB|;
b2 = |AB|·|AD|;
a2 = |AB|·|BD|;
Правильный треугольник.
SΔ = ¼ a2√3;
a = R√3, где R - радиус окружности, описанонй около треугольника;
a = 2r√3, где r - радиус окружности, вписанной в треугольник.
Некоторые соотношения в произвольном треугольнике.
|AF| = ha - высота, |AE| = na - биссектриса, |AD| = ma - медиана треугольника ABC, опущенные с вершины A. R - радиус окружности, описанонй около треугольника. r - радиус окружности, вписанной в треугольник;
|AB|:|AC| = |BE|:|EC|;
ha = ½ bc/R;
ha = 2√p(p - a)(p - b)(p - c)/a, где p - полупериметр;
na = √bc(a + b + c)(b + c - a)/(b + c);
ma = ½ √2b2 + 2c2 - a2;
Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, начиная от вершины;
Окружность и круг.
Если α° - величина угла в градусах, а β - в радианах, то α° = β·180°/π, β = α°·π/180°;
C = 2πr, где C - длина окружности.
Sкр = πr2;
l = πrα°/180° = rβ, где l - длина дуги AKB;
SOAKB = ½ r2β = πr2α°/360°, где SOAKB - площадь сектора OAKB;
SAKB = ½ r2(α°π/180° - sin α°) = ½ r2(β - sin β), SAKB площадь сегмента AKB.
Параллелограмм.
Sпарал = bh, где h - высота;
Sпарал = absin ∠A;
Sпарал = ½ |AC|·|BD| sin α;
2(a2 + b2) = |AC|2 + |BD|2.
Ромб.
Sромба = ½ |AC|·|BD|;
Sромба = |AD|·h;
Sромба = a2 sin ∠A.
Трапеция.
|KE| = ½ (|BC| + |AD|), где KE - отрезок проведенный между серединами боковых сторон AB и BD;
Sтрап = |KE|·h;
Sтрап = ½ (|BC| + |AD|)·h.
Правильный n-угольник.
Sn = ½ Pn·r, где Pn - периметр n-угольника;
Sn = ¼ na2 : tg 180°/n;
Sn = nr2·tg 180°/n;
Sn = ½ nR2·sin 360°/n;
a = 2r·tg 180°/n;
a = 2R·sin 180°/n;
Произвольнsй n-угольник.
Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180°(n - 2).