ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.
Анри Пуанкаре

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

Множество рациональных уравнений за типом и методом решения можно разделить на следующие:

1. Решение с помощью подстановки. При решении некоторых рациональных уравнений имеет смысл ввести новую переменную, заменив ею некое рациональное выражение. Например, в уравнении aP2(x) + bP(x) + c = 0, где P(x) - многочлен, введем новую переменную y = P(x). Решаем квадратное уравнение ay2 + by + c = 0 (*) относительно y и возвращаемся к решению уравнений P(x) = yi, где yi - решения уравнения (*).

2. Распадающееся уравнение. Рациональное уравнение называется распадающимся, если его можно представить в виде P(x)Q(x) = 0, где P(x) и Q(x) - целые рациональные функции. Для решения таких уравнений нужно представить уравнение P(x)Q(x) = 0 в виде совокупности:

3. Однородное уравнение второго порядка aP2(x) + bP(x)Q(x) + cQ2(x) = 0. Для его решения рассмотрим два случая. Первый - Q(x) = 0, тогда уравнение сводится к решению уравнения P(x) = 0. Второй случай - Q(x) ≠ 0, тогда исходное уравнение можно поделить на Q2(x) и получить a(P(x)/Q(x))2 + bP(x)/Q(x) + c = 0. Вводим замену P(x)/Q(x) = t и получаем квадратное уравнение at2 + bt + c = 0. В ответ включаем решения обоих случаев.

4. Биквадратное уравнение ax4 + bx2 + c = 0. Для решения такого уравнения делается замена x2 = t, x4 = t2. После подстановки новой переменной получаем квадратное уравнение at2 + bt + c = 0 (*). Решив его приходим к уравнению x2 = ti, где ti - корни уравнения (*).

5. Симметричное уравнение третьего порядка ax3 + bx2 + bx + a = 0. Для его решения проведем следующие преобразования: ax3 + bx2 + bx + a = a(x3 + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1)(x2 - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1)(ax2 + (b - a)x + a). В итоге получаем распадающееся уравнение, решаем совокупность:

6. Симметрическое уравнение четвертого порядка ax4 + bx3 + сx2 + bx + a = 0. Сгруппируем слагаемые и разделим обе части на x2. Получим

a(x2 + 1/x2) + b(x + 1/x) с = 0.

Сделаем подстановку x + 1/x = t, тогда x2 + 1/x2 = t2 - 2. Получаем квадратное уравнение at2 + bt + (c - 2a) = 0. После его решения возвращаемся к исходной переменной x.

7. Возвратное уравнение. Уравнение вида ax4 + bx3 + сx2 + dx + e = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0 и e/a = (d/b)2, называется возвратным уравнением четвертого порядка. Для его решения делим уравнение на x2 и вводим переменную t = bx + d/x, после чего получаем квадратное уравнение at2/b2 + t + с - 2ad/b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

8. Уравнения вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, где a + b = c + d. В даном случае вводим новую переменную t = x2 + (a + b)x и получаем квадратное уравнение (t + ab)(t + cd) = m. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

9. Уравнение вида P(x)/Q(x) = 0. Решаем уравнение P(x) = 0. Проверяем, чему равно значение Q(xi), где xi - корни уравнения P(x) = 0. Если Q(xi) ≠ 0, значит они являются решением исходного уравнения. Если Q(xi) = 0 - корень выпадает из области определения исходного уравнения и его нужно исключить из ответа.

10. Уравнение вида aP(x)/Q(x) + bQ(x)/P(x) + c = 0. Вводим новую переменную t = P(x)/Q(x) и получаем следующее уравнение: at + b/t + c = 0. Или после домножения на t (t ≠ 0) получаем квадратное уравнение at2 + ct + b = 0. Решив его, возвращаемся к исходной переменной.

11. Уравнение состоящее из суммы дробей. Один из методов состоит в том, что нужно перенести все члены уравнения в одну часть и свести уравнение к виду P(x)/Q(x) = 0.


2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл