Исследовать на монотонность последовательность (a_n) = 5n² - 2.

_______________________________________________________

Для решения сравним между собой два подряд идущих элемента последовательности a_k и a_k+1. Ввиду того, что мы не знаем как соотносятся эти два числа, будем вместо знака сравнения использовать ^(?):

5k² - 2 ^(?) 5(k + 1)² - 2;

5k² - 2 ^(?) 5(k² + 2k + 1) - 2;

5k² - 2 ^(?) 5k² + 10k +3;

0 ^(?) 10k + 5;

Ввиду того, что k ≥ 1, то указанное выше выражение больше 0 для любых k. Значит a_k+1 > a_k для любых k, потому последовательность возрастает, а, значит, является монотонной.

Ответ: Последовательность возрастает, потому является монотонной.

Исследовать на монотонность последовательность (a_n) = n² + 3n + 2.

___________________________________________________________

Отметим, что n² + 3n + 2 = (n + 1)(n + 2). Сравним между собой элементы a_k, a_k+1 данной последовательности:

(k + 1)(k + 2) ^(?) (k + 2)(k + 3);

0 ^(?) (k + 2)(k + 3) - (k + 1)(k + 2);

0 ^(?) 2(k + 2);

0 ^(?) k + 2.

Видим, что a_k+1 ≥ a_k при k ≥ -2 (а значит и при натуральных значениях) - последовательность возрастающая, потому и монотонна.

Ответ: Последовательность возрастает, потому является монотонной.

Исследовать на монотонность последовательность (a_n) = n² - 11n + 30.

____________________________________________________________

Отметим, что n² - 11n + 30 = (n - 5)(n - 6). Теперь сравним подряд идущие элементы последовательности a_k и a_k+1:

(k - 5)(k - 6) ^(?) (k - 4)(k - 5);

0 ^(?) (k - 4)(k - 5) - (k - 5)(k - 6);

0 ^(?) 2(k - 5);

5 ^(?) k.

a_k+1 ≥ a_k при k ≥ 5, но a_k+1 < a_k при k < 5. Потому последовательность не является монотонной.

Ответ: Последовательность не монотонна.