ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
Самая старая математическая задача датируется 1650 г. до н.э. и звучит следующим образом:

По дороге на Дижон
Встретил я мужа и семь его жен.
У каждой жены по семь тюков,
В каждом тюке по семь котов.
Сколько котов, тюков и жен
Мирно двигались в Дижон?

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

Последовательность - это набор элементов некоторого множества. Бесконечная последовательность - последовательность, которая задается функцией с областью определения N. В том случае, когда эта функция числовая, то последовательность называется бесконечной числовой последовательностью. Далее будем рассматривать числовые последовательности. Значение f(n), которое соответствует натуральному числу n, называется n-м членом последовательности. Иногда вместо f(n) используются обозначения an, xn.

Примеры числовой последовательности:

f(n) = 3n + 2, откуда f(1) = 5, f(2) = 8,..., f(100) = 302,... ;

f(n) = 1 + (-1)n, откуда f(1) = 0, f(2) = 2,... или, в общем случае, f(2k - 1) = 0, f(2k) = 2 (kN).

Как функцию числовую последовательность можно задавать различными способами. Формула, которая задает числовую последовательность, называется формулой n-го (или общего) члена. С ее помощью можно получить значение любого элемента последовательности, подставив в формулу ее номер. Например: an = 2n.

Существует еще один способ задания числовой последовательности - рекуррентный. Он выражает любой член последовательности через предыдущие. Например: an = 2(an-1 + 3), a1 = 2. Тогда a2 = 10, a3 = 26,...

Если последовательность имеет конечное количество членов, она называется конечной. Например, конечной является последовательность трехзначных чисел: 100, 101, ... , 999. Она состоит из 900 элементов.

Последовательность называется возрастающей, если для любого nN выполняется неравенство an < an+1.

Последовательность называется спадающей, если для любого nN выполняется неравенство an > an+1.

Возрастающие и спадающие последовательности называются монотонными.

Например, последовательность заданная формулой an = n/(n + 1), является монотонной, возрастающей, т.к. разница an+1 - an = (n + 1)/(n + 2) - n/(n + 1) = 1/(n + 1)(n + 2) > 0. То есть an < an+1. Последовательность с общим членом an = 1 + (-1)n не является монотонной, т.к. a1 < a2, а a2 > a3.

Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число MR, что anM.

Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число mR, что anm.

Например, последовательность an = n ограничена снизу, но не ограничена сверху. Последовательность an = (-1)nn не ограничена ни сверху, ни снизу.

Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Число a называется границей последовательности (an), если для любого ε > 0 существует натуральное число N, такое, что для всех n > N выполняется неравенство |an - a| < ε. Это записывается так: limn→∞an = a или ana.

Последовательность, которая имеет границу, называется сходящейся. Последовательность, которая не имеет границу, называется расходящейся.

Если limn→∞an = 0, то последовательность (an) называется бесконечно малой.


Свойства пределов числовой последовательности:

1. Если limn→∞an = a и limn→∞bn = b, то limn→∞(an + bn) = a + b;

2. Если limn→∞an = a и limn→∞bn = b, то limn→∞(anbn) = ab;

3. Если limn→∞an = a и limn→∞bn = b ≠ 0, то limn→∞(an/bn) = a/b;

4. limn→∞can = climn→∞an, где cR;

5. Если limn→∞an = limn→∞bn = a и ancnbn, то limn→∞cn = a.

6. Если limn→∞an = a, limn→∞bn = b и an < bn при nN, то ab.

Полезные теоремы смотрите в разделе "Методы решения".


2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл