Решение тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) = a).

sin x = a (|a| ≤ 1)   ⇒   x = (-1)ⁿ arcsin a + πn, n ∈ Z.

cos x = a (|a| ≤ 1)   ⇒   x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.

tg x = a (a ∈ R)   ⇒   x = arctg a + πn, n ∈ Z.

ctg x = a (a ∈ R)   ⇒   x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

2. Способ замены.

Этот способ следует применять в том случае, когда после преобразований получаем некое алгебраическое уравнения относительно тригонометрической функции.

Уравнение вида a(sin x + cos x) + b sin 2x = c решаем, используя замену sin x + cos x = t. Тогда 1 + sin 2x = t², а уравнение после замены приобретает вид

at + b(t² - 1) = c.

3. Разложение на множители.

Некоторые уравнения можно преобразовать так, что слева будет произведение, а справа - ноль. После чего необходимо каждый множитель приравнять к нулю и найти всевозможные корни уравнения.

4. Однородные тригонометрические уравнения вида

a₀(cos x)ⁿ + a₁(cos x)^{n - 1}sin x + ... + a_{n - 1}cos x(sin x)^{n - 1} + a_n(sin x)ⁿ = 0, n ∈ N, a₀ ≠ 0.

Для его решения необходимо поделить уравнение на (sin x)ⁿ ≠ 0 (т.к. sin x, cos x одновременно не равны 0). После чего вводим замену ctg x = z и получаем алгебраическое уравнение

a₀zⁿ + a₁z^{n - 1} + ... + a_{n - 1}z + a_n = 0, n ∈ N, a₀ ≠ 0.

5. Универсальная замена.

При решении некоторых уравнений (например, asinx + bcosx = c, a, b, c ∈ R) имеет смысл использовать замену tg ^x/₂ = z. После чего sin x = ^2z/_{(1 + z²)}, cos x = ^{(1 - z2)}/_{(1 + z²)}, tg x = ^2z/_{(1 - z²)}. Так как tg ^x/₂ не определен при x = π + 2πn, n ∈ Z, то эта подстановка может привести к потери корней. Потому необходимо проверять, не являются ли числа вида x = π + 2πn, n ∈ Z корнями исходного уравнения.

Решение тригонометрических неравенств.

Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) > a, f(x) < a)

sin x < a   ⇒

π(2n - 1) - arcsin a < x < arcsin a + 2πn, при a ∈ (-1;1] (n ∈ N);

x ∈ R, при a > 1;

x ∈ ∅, при a ≤ -1.

sin x > a   ⇒

2nπ + arcsin a < x < π(2n + 1) - arcsin a, при a ∈ [-1;1) (n ∈ N);

x ∈ R, при a < -1;

x ∈ ∅, при a ≥ -1.

cos x < a   ⇒

2πn + arccos a < x < 2π(n + 1) - arccos a, при a ∈ (-1;1] (n ∈ N);

x ∈ R, при a > 1;

x ∈ ∅, при a ≤ -1.

cos x > a   ⇒

2πn - arccos a < x < 2πn + arccos a, при a ∈ [-1;1) (n ∈ N);

x ∈ R, при a < -1;

x ∈ ∅, при a ≥ 1.

tg x < a   ⇒

πn - ^π/₂ < x < πn + arctg a, при a ∈ R (n ∈ N);

tg x > a   ⇒

πn + arctg a < x < πn + ^π/₂, при a ∈ R (n ∈ N);

сtg x < a   ⇒

πn + arсctg a < x < π(n + 1), при a ∈ R (n ∈ N);

сtg x > a   ⇒

πn < x < πn + arсctg a, при a ∈ R (n ∈ N);