ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
Число 10100 называется гугол. Этот термин был предложен 9-летним племянником Эдварда Каснера (США) (ум. в 1955 г.). 10 в степени гугол называется гуглоплексом. Некоторые представления об этой величине можно получить, вспомнив, что количество электронов в наблюдаемой Вселенной, согласно некоторым теориям, не превышает 1087.

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

Решение тригонометрических уравнений.

1. Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) = a).

sin x = a (|a| ≤ 1)   ⇒   x = (-1)n arcsin a + πn, n ∈ Z.

cos x = a (|a| ≤ 1)   ⇒   x = ± arccos a + 2πn, n ∈ Z.

tg x = a (aR)   ⇒   x = arctg a + πn, n ∈ Z.

ctg x = a (aR)   ⇒   x = arcctg a + πn, n ∈ Z.

2. Способ замены.

Этот способ следует применять в том случае, когда после преобразований получаем некое алгебраическое уравнения относительно тригонометрической функции.

Уравнение вида a(sin x + cos x) + b sin 2x = c решаем, используя замену sin x + cos x = t. Тогда 1 + sin 2x = t2, а уравнение после замены приобретает вид

at + b(t2 - 1) = c.

3. Разложение на множители.

Некоторые уравнения можно преобразовать так, что слева будет произведение, а справа - ноль. После чего необходимо каждый множитель приравнять к нулю и найти всевозможные корни уравнения.

4. Однородные тригонометрические уравнения вида

a0(cos x)n + a1(cos x)n - 1sin x + ... + an - 1cos x(sin x)n - 1 + an(sin x)n = 0, nN, a0 ≠ 0.

Для его решения необходимо поделить уравнение на (sin x)n ≠ 0 (т.к. sin x, cos x одновременно не равны 0). После чего вводим замену ctg x = z и получаем алгебраическое уравнение

a0zn + a1zn - 1 + ... + an - 1z + an = 0, nN, a0 ≠ 0.

5. Универсальная замена.

При решении некоторых уравнений (например, asinx + bcosx = c, a, b, cR) имеет смысл использовать замену tg x/2 = z. После чего sin x = 2z/(1 + z2), cos x = (1 - z2)/(1 + z2), tg x = 2z/(1 - z2). Так как tg x/2 не определен при x = π + 2πn, nZ, то эта подстановка может привести к потери корней. Потому необходимо проверять, не являются ли числа вида x = π + 2πn, nZ корнями исходного уравнения.


Решение тригонометрических неравенств.

Простейшие тригонометрические уравнения (вида f(x) > a, f(x) < a)

sin x < a   ⇒

π(2n - 1) - arcsin a < x < arcsin a + 2πn, при a ∈ (-1;1] (nN);

xR, при a > 1;

x ∈ ∅, при a ≤ -1.

sin x > a   ⇒

2nπ + arcsin a < x < π(2n + 1) - arcsin a, при a ∈ [-1;1) (nN);

xR, при a < -1;

x ∈ ∅, при a ≥ -1.

cos x < a   ⇒

n + arccos a < x < 2π(n + 1) - arccos a, при a ∈ (-1;1] (nN);

xR, при a > 1;

x ∈ ∅, при a ≤ -1.

cos x > a   ⇒

n - arccos a < x < 2πn + arccos a, при a ∈ [-1;1) (nN);

xR, при a < -1;

x ∈ ∅, при a ≥ 1.

tg x < a   ⇒

πn - π/2 < x < πn + arctg a, при aR (nN);

tg x > a   ⇒

πn + arctg a < x < πn + π/2, при aR (nN);

сtg x < a   ⇒

πn + arсctg a < x < π(n + 1), при aR (nN);

сtg x > a   ⇒

πn < x < πn + arсctg a, при aR (nN);


2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл