Решить уравнение cos(cosx) = 1.

___________________________

Используем методом решения и получаем:

cosx = ±arccos1 + 2πn = 2πn (n ∈ Z).

Так как при целом n выражение |2πn| ≤ 1 лишь в том случае, когда n = 0, то это единственное значение n, при котором имеет смысл верхнее неравенство. Тогда

cosx = 0, откуда

x = ±π/2 + 2πk, k ∈ Z

Ответ: x = ±π/2 + 2πk.

Решить уравнение cos2x - 3sinx = 2.

_________________________________

Воспользуемся формулой удвоенного угла косинуса (cos2a = 1 - 2sin²a) и получим:

1 - 2sin²x - 3sinx = 2.

Воспользуемся методом замены, обозначим sinx = y. Уравнение примет вид:

2y² + 3y + 1 = 0.

Находим его корни: y₁ = -1, y₂ = -1/2.

Возвращаемся к исходной переменной и получаем совокупность sinx = -1 и sinx = -1/2.

Из первого получаем решение - x = -π/2 + 2πn, из второго - x = (-1)^m(-π/6) + πm (m, n ∈ Z).

Ответ: x = -π/2 + 2πn или x = (-1)^m(-π/6) + πm.

Решить уравнение 2tgx - 3ctgx = 1.

______________________________

Так как ctgx = 1/tgx при x ≠ πn/2 (n ∈ Z) получаем уравнение

2tgx - 3/tgx = 1 или 2tg²x - tgx - 3 = 0.

Вводим новую переменную tgx = y и решаем квадратное уравнение 2y² - y - 3 = 0 относительно y.

Оно имеет два решения y₁ = 3/2, y₂ = -1.

Возвращаемся к исходной переменной и решаем два уравнения:

tgx = 3/2, откуда x = arctg(3/2) + πn, n ∈ Z.

tgx = -1, откуда x = arctg(-1) + πm = -π/4 + πm, m ∈ Z.

Ответ: x = arctg(3/2) + πn или x = -π/4 + πm.

Решить уравнение 3cosx - sin2x = 1 - sin3x.

_____________________________________

Сделаем следующее преобразование 3(cosx + sinx) = 1 + sin2x.

Замена cosx + sinx = t приведет к уравнению 3t = t². Оно имеет корни t₁ = 0, t₂ = 3.

Берем первый корень, возвращаем замену и получаем cosx + sinx = 0, делим на cosx ≠ 0, откуда tgx = -1, x = -π/4 + πn (n ∈ Z).

Второй корень t₂ дает уравнение cosx + sinx = 3. Это уравнение не имеет решений, т.к. и cosx, и cosx меньше равны 1, в сумме меньше равны 2.

Ответ: x = -π/4 + πn.