ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
Число 10100 называется гугол. Этот термин был предложен 9-летним племянником Эдварда Каснера (США) (ум. в 1955 г.). 10 в степени гугол называется гуглоплексом. Некоторые представления об этой величине можно получить, вспомнив, что количество электронов в наблюдаемой Вселенной, согласно некоторым теориям, не превышает 1087.

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

1. Метод бесконечного спуска.

Суть этого метода состоит в следующем: предположив, что уравнение имеет решение, мы выстраиваем некий бесконечный процесс, который на самом деле, по условию задачи, должен когда-то закончиться.


Пример:

Найти решение уравнения 2m2 = n2 в целых числах.

Решение: Начнем исследование данного уравнения. Левая часть уравнение делится на 2, значит и правая должна делится на 2. Тогда n = 2n1, где n1Z (очевидно, если квадрат числа делится на 2, то и само число делится на 2).

2m2 = 4n12;

m2 = 2n12.

Теперь правая часть уравнения делится на 2, потому m = 2m1, где m1Z.

4m12 = 2n12;

2m12 = n12.

Мы видим, что если пара (m; n) удовлетворяет уравнению, то и пара чисел (m1; n1) уменьшенных на 2, также удовлетворяет условию. Т.е. числа (m1; n1) должны оставаться парными. И как бесконечно долго мы не делили бы числа на 2, результат также должен оставаться парным числом. В целых числах лишь число 0 удовлетворяет данному утверждению.

Ответ: m = n = 0


2. Метод остатков.

Цель метода - нахождение остатков от деления обоих частей уравнения на некоторое целое число и анализ полученных результатов. Зачастую полученная информация значительно сужает множество возможных решений уравнения.


Пример:

Доказать, что уравнение x2 = 3y + 2 не имеет решений в целых числах.

Доказательство: Рассмотрим случай, когда x, yN. Рассмотрим остатки от деления обоих частей на 3. Правая часть уравнения дает остаток 2 при делении на 3 при любом значении y. Левая же часть, которая является квадратом натурального числа, при делении на 3 всегда дает остаток 0 или 1 (доказательство ищите в разделе "Задачи с решением"). Исходя из этого получаем, что решения данного уравнения в натуральных числах нет.

Рассмотрим случай, когда одно из чисел равно 0. Тогда очевидно, решений в целых числах нет.

Случай, когда y - целое отрицательное не имеет решений, т.к. правая часть будет отрицательна, а левая - положительна.

Случай, когда x - целое отрицательное, также не имеет решений, т.к. попадает под один из рассмотренных ранее случаев ввиду того, что (-x)2 = (x)2.

Получается, что указанное уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.



2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл