ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
Люди племени намбиквара, живущие на северо-западе штата Мату-Гросу, Бразилия, самые неграмотные в математике. У них полностью отсутствует система чисел. Правда, они пользуются глаголом, который означаем "они равны".

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
Добавлен материал "Показательные уравнения и неравенства", в котором заполнены разделы "Теория" и "Методы решений". В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

Соотнешие между средними величинами - средним арифметическим, средним геометрическом, средним квадратическим и средним гармоническим.


Зачастую в средних класах мы пользуемся известным выражением о том, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше чем среднее геометрические их значение:

(a + b)/2ab, для любых a, bZ +.

Доказывается неравенство достаточно просто. Умнажаем обе части на 2 и переносим правую честь влево:

a + b - 2ab ≥ 0;

(a - b)2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Оказывается, это неравествено - это лишь частный случай т.н. соотношения между средними величинами.

Для двух положительных чисел оно имеет следующий вид (общий случай для n чисел):

Пусть a, bR, тогда иммет место неравенство:

2

1/a + 1/b

ab ab

2

a2 + b2

2

где части неравества имеют названия (по мере возрастания) - среднее гармоническое, среднее геометрическое, среднее арифметическое, среднее квадратическое.

Докажем его. Покажем, что среднее геометрическое больше, чем среднее гармоническое.

ab2/(1/a + 1/b);

ab ≥ 2ab / (a + b);

ab(a + b) ≥ 2ab; сокращаем на ab, т.к. это положительное число.

a + b ≥ 2ab;

(a - b)2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим рассматривалось выше. Докажем, что среднее квадратическое больше среднего арифметического:

(a2 + b2) / 2 ≥ (a + b) / 2; так как справа положительное число, подносим в квадрат обе части:

(a2 + b2) / 2 ≥ (a2 + 2ab + b2) / 4; переносим все в левую часть, умножаем на 4:

a2 - 2ab + b2 ≥ 0;

(a - b)2 ≥ 0.

Что и требовалось доказать.

Неравенство имеет место для n чисел и звучит так:


Для любых n положительных чисел a1a2 ≤ .... ≤ an имеет место соотношение:

a1 n

1 / a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an

n a1a2...an a1 + a2 + ... + an

n

a12 + a22 + ... + an2

n

an

причем равенство достигается лишь тогда и только тогда, когда a1 = a2 = .... = an, где

n

1 / a1 + 1 / a2 + ... + 1 / an

- среднее гармоническое,
n a1a2...an - среднее геометрическое,
a1 + a2 + ... + an

n

- среднее арифметическое,
a12 + a22 + ... + an2

n

- среднее квадратическое.

Назад


2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл