ЛИТЕРАТУРАВЕЛИКИЕ МАТЕМАТИКИТАБЛИЦЫИГРЫРАЗНОЕКОНТАКТЫКАРТА САЙТА
Разделы
????? ??????? ????? ??? ???????? ? ?????????? "?????? ??? ???????" ?????????? ???? ??????? ????? ?? ????? ??? ???????? (? ?????? ????????????? ???????? Opera, Firefox, IE 7 ? ????), ???? ?????? ?? ??????????????? ?????? (??? ????????????? IE 6 ? ????).

Поиск по сайту
Перевод на другие языки
Последние новости
???????? ???????? "????????????? ????????? ? ???????????", ? ??????? ????????? ??????? "??????" ? "?????? ???????". ? ????????? ????? ???????? ?????? ?? ????? ?????????.
18.03.2013

Прочесть все новости
LiveJournal Vkontakte Facebook Twitter
В избранное Рассылка

Формулы суммы первой степени, квадратов, кубов первых n натуральных чисел.


Покажем, что для любого nN имеют место следующие равенства:

1) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)

2

;
2) 12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

;
3) 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n + 1)2

4

;

Доказательство



1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)

2

Данная формула известна, как результат суммы членов арифметической прогрессии и доказать ее можно многими способами. Один из них, например, следующий. Запишем снизу, под суммой 1 + 2 + 3 + ... + n, сумму в обратном порядке:

1 + 2 + ... + n - 1 + n
n + n - 1 + ... + 2 + 1

Если сложить эти две строки, то, с одной стороны, мы будем иметь удовенную изначальную сумму, т.е. 2(1 + 2 + 3 + ... + n). С другой стороны, заметим, что каждая пара чисел, стоящие одно над другим, дают в сумме n + 1 (для наглядности пары чисел выделены одинаковым цветом). Первая (синяя) дает n + 1, а каждой последующей верхнее число увеличивается на 1, а нижнее на 1 уменьшается. Таким образом суммы в последующих парах будут равняться n + 1. Всего таких пар n (по количеству чисел в сумме), а потому мы имеем равенство: 2(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1), откуда и получаем искомую формулу.



12 + 22 + 32 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1)

6

Докажем с помощью метода математической индукции.

База индукции.

Проверим, выполняется ли равенство при n = 1.

12 = 1·2·3/6 = 1.

База проверена.

Переход.

Пусть для некоторого kN выполняется равенство

12 + 22 + 32 + ... + k2 = k(k + 1)(2k + 1)

6

;

Докажем, что оно выполняется и для k + 1, т.е., что

12 + 22 + 32 + ... + k2 + (k + 1)2 =? (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

; (*)

Пользуемся переходом, получаем

k(k + 1)(2k + 1)

6

+ (k + 1)2 =? (k + 1)(k + 2)(2k + 3)

6

;

Умножаем обе части на 6, сокращаем на k + 1:

k(2k + 1) + 6(k + 1) =? (k + 2)(2k + 3);

2k2 + 7k + 6 = 2k2 + 7k + 6.

Достигается равенство, а, значит, (*) - верно. Переход, а потому и равенство доказано.



13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2(n + 1)2

4

Здесь также воспользуемся методом математической индукции.

База индукции.

Проверим, выполняется ли равенство при n = 1.

13 = 12·22/4 = 1.

База проверена.

Переход.

Пусть для некоторого kN выполняется равенство

3) 13 + 23 + 33 + ... + k3 = k2(k + 1)2

4

;

Докажем, что оно выполняется и для k + 1, т.е., что

3) 13 + 23 + 33 + ... + (k + k + 1)3 =? (k + 1)2(k + 2)2

4

; (**)

Пользуемся переходом, получаем

k2(k + 1)2

4

+ (k + 1)3 =? (k + 1)2(k + 2)2

4

;

Умножаем обе части на 4, сокращаем на (k + 1)2:

k2 + 4(k + 1) =? (k + 2)2;

k2 + 4k + 4 = k2 + 4k + 4;

Достигается равенство, а, значит, (**) - верно. Переход, а потому и равенство доказано.


Назад


2009-2012 © Все права защищены. "Математика - это просто!" - некоммерческий, обучающий сайт. Все права принадлежат их владельцам.
Rambler's Top100 Украинский портАл