Определение

Рассмотрим окружность радиуса R с центром в точке O. Положительный угол AOK создан вращением радиус-вектора OA (|OA| = R) по направлению против часовой стрелки.

Угол 1° (1 градус) - это угол, который опирается на дугу, которая равна ¹/₃₆₀ части окружности. На рисунке выше угол ∠ AOK = α°, ∠ AOB = 90°, ∠ AOC = 180°, ∠ AOD = 270°, ∠ AOA = 360°. Вся окружность делится на 360°, один градус содержит в себе 60 минут (60'), одна минута содержит в себе 60 секунд (60").

Осями координат окружность делится на четыре четверти. Отрицательные углы откладываем от оси Ox в направлении движения часовой стрелки (на рисунке выше ∠ AOM = -β° - отрицательный угол).

Кроме градусного измерения угла используется измерения угла в радианах: 1 рад - это угол, который опирается на дугу, длина которой равна радиусу. Поскольку длина окружности равна 2πR, то угол 360° = 2π рад. Исходя из этого

1 рад = ^360°/_2π = 57°17'44",

1° = ^2π/_360° рад = ^π/_180° рад.

На окружности радиуса R выберем произвольную точку M(x; y), ∠ AOM = α, |OM| = R (см. рисунок выше). Определим тригонометрические функции угла α - синус (sin α), косинус (cos α), тангенс (tg α) и котангенс (ctg α):

sin α = ^y/_R, cos α = ^x/_R, tg α = ^y/_x, ctg α = ^x/_y.

Аналогично определяем тригонометрические функции произвольного угла (независимо от положения точки M она может находится в любой четверти I, II, III или IV).

В прямоугольном треугольнике определим тригонометрически функции следующим образом:

sin α = ^a/_c, cos α = ^b/_c, tg α = ^a/_b, ctg α = ^b/_a,

где a - катет, лежащий напротив угла α, b - катет, прилегающий к углу α, c - гипотенуза.

Определим знаки тригонометрических функций у разных четвертях:

Связь между тригонометрическими функциями одного аргумента:

1. sin² α + cos² α = 1;

2. tg α · ctg α = 1;

3. 1 + tg² α = ¹/_{cos² α}; 1 + ctg² α = ¹/_{sin² α};

4. sin (π/2 - α) = cos α; cos (π/2 - α) = sin α

Формулы суммы и разности.

1. cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β;

2. cos (α - β) = cos α · cos β + sin α · sin β;

3. sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β;

4. sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β;

5. tg (α + β) = ^{(tg α + tg β)}/_{(1 - tg α · tg β)};

6. tg (α - β) = ^{(tg α - tg β)}/_{(1 + tg α · tg β)}.

Формулы для функций двойного, тройного углов.

1. sin 2α = 2 sin α · cos α = ^{2tg α}/_{(1 + tg² α)};

2. cos 2α = cos² α - sin² α = 2cos² α - 1 = ^{(1 - tg2 α)}/_{(1 + tg² α)};

3. tg 2α = ^{2tg α}/_{(1 - tg² α)};

4. sin 3α = sin α (3 - 4sin² α);

5. cos 3α = cos α (4 cos² α - 3);

6. tg 3α = ^{(3tg α - tg3 α)}/_{(1 - 3tg² α)}.

Формулы преобразования суммы и разности в произведение.

1. cos α + cos β = 2cos^{(α + β)}/₂ · cos^{(α - β)}/₂;

2. cos α - cos β = -2sin^{(α + β)}/₂ · sin^{(α - β)}/₂;

3. sin α + sin β = 2sin^{(α + β)}/₂ · cos^{(α - β)}/₂;

4. sin α - sin β = 2cos^{(α + β)}/₂ · sin^{(α - β)}/₂;

5. tg α + tg β = ^{sin(α + β)}/_{cos α · cos β};

6. tg α - tg β = ^{sin(α - β)}/_{cos α · cos β}.

Формулы преобразования произведения в сумму.

1. cos α · cos β = ½ [cos(α - β) + cos(α + β)];

2. sin α · sin β = ½ [cos(α - β) - cos(α + β)];

3. sin α · cos β = ½ [sin(α + β) + sin(α - β)].